Matrices de Stokes et groupe de Galois des équations hypergéométriques confluentes généralisées

Anne Duval and Claudine Mitschi

Vol. 138 (1989), No. 1, 25–56

DOI: 10.2140/pjm.1989.138.25

Abstract

On s’intéresse à l’équation différentielle:

où ∂ désigne l’opérateur d’Euler z d∕dz et μ₁,…,μ_p, ν₁,…,ν_q sont des paramètres complexes.

Cette équation est l’équation différentielle la plus générale dont la transformée de Mellin est une équation aux différences du premier ordre, donc “sommable” à l’aide de la fonction Γ. On peut ainsi obtenir pour certaines solutions de D_q,p (G-fonctions) des représentations intégrales (formules de Barnes-Mellin).

Lorsque q ≥ p + 1 (q ≥ 2) (ce qu’on supposera dans tout cet article) le point ∞ est irrégulier et le polygone de Newton de D_q,p en ce point a un côté horizontal de longueur p et un côté de pente 1∕q − p (de “longueur” q). Nous construisons, à l’aide des G-fonctions, dans tout “bon” secteur un système fondamental de solutions de D_q,p ayant dans ce secteur un développement asymptotique prescrit. Nous appelerons matrices de Stokes les matrices de passage d’un système à un autre sur l’intersection de deux “bons” secteurs consécutifs. Ce n’est pas la définition “traditionnelle”: c’est celle qu’adopte J.-P. Ramis et qui semble correspondre à une meilleure normalisation. Cette étude qui utilise à la fois des formules établies par C. S. Meijer en 1946 et les résultats de J.-P. Ramis constitue la lère partie de cet article.

Pour les petites valeurs des entiers p et q on peut ensuite décrire complètement le groupe de Galois différentiel de D_q,p. Le seul autre point singulier (l’origine) étant régulier on sait que le groupe Gal_C(z)(D_q,p) s’identifie au groupe local à l’infini et que ce dernier est l’adhérence de Zariski du groupe engendré dans Gl(q,C) par les trois sous-groupes correspondant à la monodromie formelle, au tore exponentiel et aux matrices de Stokes. Le calcul explicite de ces divers groupes pour q = 3 et p = 1 ou 2 est l’objet de la 2ème partie. Des calculs de groupe de Galois dans des situations voisines se trouvent chez N. Katz.

Mathematical Subject Classification 2000

Primary: 14D05

Secondary: 12H05, 32S40, 33C70, 34A20

Milestones

Received: 25 November 1987

Revised: 4 April 1988

Published: 1 May 1989