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Let 𝒦 be a real cubic field of
negative discriminant, defined by the relation ω3 = 𝜖Norm𝒦∕ℚ(ω), where ω is an
integer of 𝒦 and the unit 𝜖 is not a cube. The complete symmetric function with
weight n of the roots of the minimal polynomial of ω satisfies a cubic linear
recurrence relation. We show that the zeros of this sequence are connected to the
binomial units of 𝒦 and further, that the number of zeros is between two and four,
except in two cases, when there are five or six zeros (the sequence of Berstel and
Mignotte). As an illustration, a table of zeros is obtained for fields 𝒦 of discriminant
superior to —400.
Soit 𝒦 un corps cubique réel de discriminant négatif, défini par la relation
ω3 = 𝜖Norm𝒦∕ℚ(ω), où ω est un entier de 𝒦 et l’unité 𝜖 n’est pas un cube. La
fonction symétrique complète de poids n, des racines du polynôme minimal de ω,
vérifie une relation de récurrence linéaire cubique. Nous montrons que les zéros
de cette suite sont reliés aux unités binomiales de 𝒦 et aussi, que le nombre
de zéros est compris entre deux et quatre, sauf dans deux cas, où il y a
cinq ou six zéros (suite de Berstel et Mignotte). A titre d’illustration, une
table de zéros est calculée pour les corps 𝒦 de discriminant supérieur à
—400.
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