Construction de la tour des 2-corps de classes de Hilbert de certains corps biquadratiques

Abdelmalek Azizi

Vol. 208 (2003), No. 1, 1–10

DOI: 10.2140/pjm.2003.208.1

Abstract

Let p and q be prime numbers such that p ≡ 1 mod 8, q ≡−1 mod 4 and () = −1, d = pq, k = Q(,i), k₂⁽¹⁾ be the 2-Hilbert class field of k, k₂⁽²⁾ be the 2-Hilbert class field of k₂⁽¹⁾ and G₂ be the Galois group of k₂⁽²⁾∕k. The 2-part C_k,2 of the class group of k is of type (2,2), so k₂⁽¹⁾ contains three extensions K_i∕k, i = 1, 2, 3. Our goal is to determine the group C_k,2, to study the problem of capitulation of the 2-classes of k in K_i, i = 1, 2, 3 and to construct the 2-class field tower of k.

Résumé.  

Soient p et q deux nombres premiers tels que p ≡ 1 mod 8, q ≡−1 mod 4 et () = −1, d = pq, i = , k = Q(,i), k₂⁽¹⁾ le 2-corps de classes de Hilbert de k, k₂⁽²⁾ le 2-corps de classes de Hilbert de k₂⁽¹⁾ et G₂ le groupe de Galois de k₂⁽²⁾∕k. La 2-partie C_k,2, du groupe de classes de k est de type (2,2), par suite k₂⁽¹⁾ contient trois extensions K_i∕k, i = 1, 2, 3. On s’intéresse à déterminer le groupe C_k,2, à etudier la capitulation des 2-classes de k dans K_i, i = 1, 2, 3 et à la construction de la tour du 2-corps de classes de Hilbert de k.

Milestones

Received: 30 July 2001

Revised: 28 November 2001

Published: 1 January 2003