Soit φ l’endomorphisme de
multiplication par un entier sur une variété semi-abélienne A définie sur ℚ et
soit X une sous-variété algébrique de A. Il existe (pour des raisons évidentes)
un entier N avec la propriété suivante: si les N premiers itérés de φ envoient un
point x dans X alors ceci vaut pour tous les itérés. Nous montrons que N peut
être choisi indépendamment de φ. Nous montrons aussi qu’un tel N peut être
calculé explicitement si A est une variété abélienne ou un tore. La preuve repose
sur un résultat d’effectivité dans la solution de la conjecture de Mordell–Lang et
sur un résultat combinatoire de Crittenden et Vanden Eynden sur les progressions
arithmétiques.
Let φ be the endomorphism of multiplication by an integer on a semi-abelian variety
A defined over ℚ and let X be an algebraic subvariety of A. There exists (for obvious
reasons) an integer N with the property that if the first N iterates of φ map a point
x into X then this is true of all iterates. We prove that N can be chosen
independently of φ. Moreover we show that such an N can be explicitly
computed if A is either an abelian variety or a torus. The proof relies on an
effectivity result in the solution of the Mordell–Lang conjecture together
with a combinatorial result of Crittenden and Vanden Eynden on arithmetic
progressions.
