Formes modulaires sur la $\mathbb Z_p$-extension cyclotomique de $\mathbb Q$

Laurent Clozel

Vol. 268 (2014), No. 2, 259–274

DOI: 10.2140/pjm.2014.268.259

Abstract

Soit $F$ la ${\mathbb{Z}}_p$-extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$. On peut se demander s’il existe une théorie non triviale des formes modulaires pour GL$\left(2,F\right)$. On montre qu’une telle théorie existe en caractéristique $p$, au moins si GL$\left(2\right)$ est remplacé par une algèbre de quaternions définie en $\left(p,\infty \right)$. En particulier, une telle théorie réalise naturellement le changement de base de Saito–Shintani–Langlands.

Let $F$ be the cyclotomic ${\mathbb{Z}}_p$-extension of the rationals. It is natural to ask whether there exists a nontrivial theory of modular forms on GL$\left(2,F\right)$. We show that this is the case if the ring of coefficients has characteristic $p$ and if GL$\left(2\right)$ is replaced by the quaternion algebra ramified at $\left(p,\infty \right)$. In particular, such a theory incorporates the base change of Saito, Shintani and Langlands.

In memoriam Jon Rogawski

Keywords

extension cyclotomique, forme modulaire, Saito–Shintani–Langlands, modular form, cyclotomic extension

Mathematical Subject Classification 2010

Primary: 11F11, 11F99

Milestones

Received: 13 March 2013

Revised: 13 June 2013

Accepted: 19 June 2013

Published: 21 June 2014