Le flot géodésique des quotients géométriquement finis des géométries de Hilbert

Mickaël Crampon and Ludovic Marquis

Vol. 268 (2014), No. 2, 313–369

DOI: 10.2140/pjm.2014.268.313

Abstract

On étudie le flot géodésique des quotients géométriquement finis $\Omega ∕\Gamma$ de géométries de Hilbert, en particulier ses propriétés de récurrence.

On prouve, sous une hypothèse géométrique sur les pointes, que le flot géodésique est uniformément hyperbolique. Sans cette hypothèse, on construit un exemple où celui-ci a un exposant de Lyapunov nul.

On fait le lien entre la dynamique du flot géodésique et certaines propriétés du convexe $\Omega$ et du groupe $\Gamma$. On en déduit des résultats de rigidité, qui étendent ceux de Benoist et Guichard pour les quotients compacts.

Enfin, on s’intéresse au lien entre entropie volumique et exposant critique ; on montre entre autres qu’ils coïncident lorsque le quotient est de volume fini.

We study the geodesic flow of geometrically finite quotients $\Omega ∕\Gamma$ of Hilbert geometries, in particular its recurrence properties.

We prove that, under a geometric assumption on the cusps, the geodesic flow is uniformly hyperbolic. Without this assumption, we provide an example of a quotient whose geodesic flow has a zero Lyapunov exponent.

We make the link between the dynamics of the geodesic flow and some properties of the convex set $\Omega$ and the group $\Gamma$. As a consequence, we get various rigidity results which extend previous results of Benoist and Guichard for compact quotients.

Finally, we study the link between volume entropy and critical exponent; for example, we show that they coincide provided the quotient has finite volume.

Keywords

Hilbert geometry, geodesic flow, geometrically finite, volume entropy

Mathematical Subject Classification 2010

Primary: 20H10, 22E40, 37D40, 53A20

Milestones

Received: 30 March 2012

Accepted: 13 October 2012

Published: 21 June 2014