Enveloppe étale de morphismes plats

Pour un morphisme $T \to S$ , plat et de présentation finie, l’enveloppe étale — un avatar du $π_{0} (T ∕ S)$ — peut ne pas exister ; par contre l’enveloppe étale séparée, i.e., celle qui est universelle pour les schémas étales et séparés sur $S$ , existe dès que $S$ est localement connexe. On la note $T \to π^{s} (T ∕ S)$ ; c’est le quotient de $T$ par la relation d’équivalence minimale à graphe ouvert et fermé dans $T \times_{S} T$ ; cette construction permet de démontrer qu’un morphisme fpqc de changement de base $S^{'} \to S$ induit un isomorphisme $π^{s} (S^{'} \times_{S} T ∕ S^{'}) \to S^{'} \times_{S} π^{s} (T ∕ S)$ si ses fibres géométriques sont connexes. Par ailleurs, lorsque $S$ est normal, disons intègre, et que le morphisme $T \to S$ est normal, on dispose d’un isomorphisme $π^{s} (T_{ξ} ∕ ξ) ≃ π^{s} {(T ∕ S)}_{ξ}$ ; il permet d’étendre à des morphismes normaux des résultats connus sur un corps de base. Toujours sous des hypothèses de normalité, le morphisme canonique $π_{0} (T ∕ S) \to π^{s} (T ∕ S)$ fait apparaître le schéma $π^{s}$ comme l’enveloppe séparée de l’espace algébrique $π_{0}$ .

For a flat morphism $T \to S$ of finite presentation, the étale envelope — an avatar of $π_{0} (T ∕ S)$ — may fail to exist; but, the separated étale envelope, i.e., the one which is universal for the separated étale $S$ -schemes only, is shown to exist as soon as $S$ is locally connected; denoted $π^{s} (T ∕ S)$ , it is the quotient of $T$ by the equivalence relation which is minimal among those with clopen graph in $T \times_{S} T$ ; from that we prove that, for a fpqc base change $S^{'} \to S$ , the morphism $π^{s} (S^{'} \times_{S} T ∕ S^{'}) \to S^{'} \times_{S} π^{s} (T ∕ S)$ is an isomorphism if the geometric fibres of $S^{'} \to S$ are connected. When $S$ is integral with generic point $ξ$ , and if both $S$ and the morphism $T \to S$ are normal, then one gets the isomorphism $π^{s} (T_{ξ} ∕ ξ) ≃ π^{s} {(T ∕ S)}_{ξ}$ , on the strength of which one can often extend to $S$ results previously proven when the base is a field.

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Keywords

étale envelope, connected component, clopen subsets of a scheme

Mathematical Subject Classification 2010

Primary: 14A15

Secondary: 14A20

Milestones

Received: 27 January 2019

Revised: 20 March 2021

Accepted: 18 July 2021

Published: 9 July 2022

Authors

Daniel Ferrand
Institut Mathématique de Jussieu Sorbonne Université Paris France

Ofer Gabber
IHES Bures-sur-Yvette France

Vol. 16, No. 3, 2022

Daniel Ferrand

Appendix: Ofer Gabber

Abstract

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Keywords

Mathematical Subject Classification 2010

Milestones

Authors