Nouvelles cohomologies de Weil en caractéristique positive

Ayoub, Joseph

doi:10.2140/ant.2020.14.1747

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Nouvelles cohomologies de Weil en caractéristique positive

Joseph Ayoub

Vol. 14 (2020), No. 7, 1747–1790

DOI: 10.2140/ant.2020.14.1747

Abstract

Soit $K$ un corps valué de hauteur $1$ et d’inégales caractéristiques $(0, p)$ , et soit $k$ son corps résiduel. Dans cet article, nous construisons une nouvelle cohomologie de Weil pour les $k$ -schémas de type fini à valeurs dans les $A_{K}$ -modules, avec $A_{K}$ une $K$ -algèbre de « périodes abstraites $p$ -adiques » qui admet une description explicite par générateurs et relations. Nous démontrons des théorèmes de comparaison reliant cette nouvelle cohomologie de Weil aux cohomologies de Weil classiques : la cohomologie rigide de Berthelot et les cohomologies $ℓ$ -adiques, pour $ℓ \neq p$ . Nous énonçons également des conjectures sur l’anneau $A_{K}$ dont l’une d’elles entraîne l’indépendance de $ℓ$ en cohomologie.

Let $K$ be a valued field of height $1$ and unequal characteristics $(0, p)$ , and let $k$ be its residue field. In this article, we construct a new Weil cohomology for finite type $k$ -schemes with values in $A_{K}$ -modules, where $A_{K}$ is a $K$ -algebra of “ $p$ -adic abstract periods” admitting an explicit description by generators and relations. We establish comparison theorems relating this new Weil cohomology to the classical ones: Berthelot’s rigid cohomology and the $ℓ$ -adic cohomologies, for $ℓ \neq p$ . We also state some conjectures on the ring $A_{K}$ . One of these conjectures implies the independence of $ℓ$ in cohomology.

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Keywords

cohomologie de Weil, motifs, motifs rigides, groupe de Galois motivique, indépendance de $\ell$

Mathematical Subject Classification 2010

Primary: 14F42

Milestones

Received: 21 December 2018

Revised: 17 December 2019

Accepted: 6 February 2020

Published: 18 August 2020

Authors

Joseph Ayoub
Institut für Mathematik Universität Zürich Switzerland	CNRS LAGA Université Paris 13 France

Vol. 14, No. 7, 2020