#### Vol. 14, No. 7, 2020

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Nouvelles cohomologies de Weil en caractéristique positive

### Joseph Ayoub

Vol. 14 (2020), No. 7, 1747–1790
##### Abstract

Soit $K$ un corps valué de hauteur $1$ et d’inégales caractéristiques $\left(0,p\right)$, et soit $k$ son corps résiduel. Dans cet article, nous construisons une nouvelle cohomologie de Weil pour les $k$-schémas de type fini à valeurs dans les ${A}_{K}$-modules, avec ${A}_{K}$ une $K$-algèbre de « périodes abstraites $p$-adiques » qui admet une description explicite par générateurs et relations. Nous démontrons des théorèmes de comparaison reliant cette nouvelle cohomologie de Weil aux cohomologies de Weil classiques : la cohomologie rigide de Berthelot et les cohomologies $\ell$-adiques, pour $\ell \ne p$. Nous énonçons également des conjectures sur l’anneau ${A}_{K}$ dont l’une d’elles entraîne l’indépendance de $\ell$ en cohomologie.

Let $K$ be a valued field of height $1$ and unequal characteristics $\left(0,p\right)$, and let $k$ be its residue field. In this article, we construct a new Weil cohomology for finite type $k$-schemes with values in ${A}_{K}$-modules, where ${A}_{K}$ is a $K$-algebra of “$p$-adic abstract periods” admitting an explicit description by generators and relations. We establish comparison theorems relating this new Weil cohomology to the classical ones: Berthelot’s rigid cohomology and the $\ell$-adic cohomologies, for $\ell \ne p$. We also state some conjectures on the ring ${A}_{K}$. One of these conjectures implies the independence of $\ell$ in cohomology.

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##### Keywords
cohomologie de Weil, motifs, motifs rigides, groupe de Galois motivique, indépendance de $\ell$
Primary: 14F42
##### Milestones
Received: 21 December 2018
Revised: 17 December 2019
Accepted: 6 February 2020
Published: 18 August 2020
##### Authors
 Joseph Ayoub Institut für Mathematik Universität Zürich Switzerland CNRS LAGA Université Paris 13 France